Евро-Азиатский институт образовательных технологий Eurasian Institute of educational technologies
Thursday, 2021-05-13, 11:55 AM
Site menu
Section categories
Археология- Аrcheology
Ботаника- Вotany
География- Geography
Зоология- Zoology
История- Нistory
История науки- Нistory of science
Медицина- Мedicine
Образование- Education
Общая биология- General biology
Общество- Society
Палеонтология- Рaleontology
Право- Jurisprudence
Психология- Рsychology
Технологии- Technology
Физика- Physics
Химия- Сhemistry
Экология- Еcology
Экономика- Еconomy
Our poll
Выберите научные направления, которые интересны Вам / Select the science areas that you interest in
Total of answers: 2575
Statistics

Total online: 1
Guests: 1
Users: 0

9:05 AM
Великой теореме Эмми Нётер — 100 лет / The great Emmy Noether theorem – 100 years

Ровно сто лет назад на семинаре Геттингенского математического общества была представлена теорема, которая со временем стала важнейшим инструментом в математической и теоретической физике. Она связывает каждую непрерывную симметрию физической системы с некоторым законом сохранения (например, если в изолированной системе частиц процессы инвариантны относительно сдвига по времени, то в этой системе выполняется закон сохранения энергии). Доказала эту теорему Эмми Нётер — и этот результат, наряду с последовавшими важнейшими работами по абстрактной алгебре, заслуженно позволяет многим считать Нётер величайшей женщиной в истории математики.

В самой общей форме суть теоремы Нётер можно выразить буквально в двух словах. Изучая природу на фундаментальном уровне, ученые стремятся находить те характеристики физических систем, которые остаются неизменными в ходе процессов, в которых задействованы эти системы. Например, наша планета движется по своей орбите с переменной скоростью, однако воображаемый отрезок, соединяющий ее с Солнцем, за равные промежутки времени заметает равные площади (второй закон Кеплера). Полный электрический заряд изолированной макроскопической системы не изменяется, какие бы внутренние превращения она ни претерпевала; точно так же, абсолютным постоянством отличаются и заряды элементарных частиц. Из теоремы Нётер следует, что само существование подобных сохраняющихся свойств непосредственно связано с симметриями некоторой фундаментальной физической величины, которая определяет динамику системы. Выражаясь иначе, законы сохранения оказываются прямым следствием наличия тех или иных симметрий. Этот вывод стал самым универсальным инструментом выявления таких законов во множестве областей физики от ньютоновской механики до современной Стандартной модели элементарных частиц. Помимо этого, его можно назвать одним из наиболее красивых теоретических прозрений во всей истории науки.

Величина, о которой только что шла речь, называется действием. Ее конкретный вид зависит от системы, чье поведение она описывает. По форме это одномерный или многомерный интеграл от столь же фундаментального функционалалагранжиана. В реальных физических процессах действие принимает экстремальное значение — чаще всего, достигает минимума. Это утверждение, не вполне точно называемое принципом наименьшего действия, позволяет с помощью методов вариационного исчисления записывать уравнения, описывающие динамику системы.

В ее статье задействована весьма высокая математика, которую никак не описать словами. Все, что можно сделать — обрисовать общую идею. Подобно Гильберту, она работала с принципом наименьшего действия. Ее интересовали последствия математических операций, которые преобразуют математические объекты, участвующие в вычислении действия, однако оставляют неизменной его численную величину — или, в более общем случае, изменяют ее не слишком сильно (конечно, для этого «не слишком» есть точное математическое определение). Это означает, что подобные операции оставляют действие инвариантным. Инвариантность по отношению к определенному преобразованию или даже целому классу преобразований называется симметрией. Эмми Нётер в своей работе задалась вопросом, к каким последствиям приводит наличие у действия тех или иных симметрий.

Эту задачу она решала в очень общей форме, но с одним существенным ограничением. Преобразования симметрии могут быть как непрерывными, так и дискретными. Примеры первых — сдвиги вдоль координатных осей или повороты на произвольные углы. Дискретные преобразования, напротив, допускают лишь конечное или, максимум, счетное число изменений. Например, окружность остается неизменной при любых поворотах вокруг своего геометрического центра, а квадрат — только при поворотах, кратных 90 градусам. В первом случае мы имеем дело с непрерывной симметрией, во втором — с дискретной. И те, и другие симметрии описываются с помощью теории групп, но при этом применяются разные ее ветви. Дискретные преобразования, интересующие физику, используют теорию групп с конечным числом элементов. Для описания непрерывных симметрий используют бесконечные группы определенного типа, которые называются группами Ли в честь великого норвежского математика Софуса Ли. Эмми Нётер исследовала связь между законами сохранения и непрерывными симметриями, поэтому в своей работе она пользовалась теорией групп Ли. Стоит отметить, что дискретные симметрии тоже могут привести к тем или иным законам сохранения, однако в этом случае теорема Нётер непременима.

К началу второго десятилетия прошлого века теория групп Ли была хорошо разработана не только самим Ли, но и другими математиками, прежде всего немцем Вильгельмом Киллингом и французом Эли Картаном. Тогдашние физики практически не были с ней знакомы, но у Эмми Нётер, было время и желание изучить ее еще в Эргангене. Теперь же она ее применила — и с большим успехом.

Эмми Нётер рассмотрела преобразования симметрии, в которых работают группы Ли двух типов. В одном случае каждое преобразование (то есть, каждый элемент группы Ли) зависит от конечного (можно даже и счетного) количества численных параметров. Элементы групп Ли второго типа, напротив, зависят от того или иного числа произвольных функций. Например, плоские вращения определяются одним параметром (углом поворота), а пространственные — тремя (каждое из них можно представить как последовательность вращений вокруг трех координатных осей). Напротив, эйнштейновская ОТО основана на принципе полной ковариантности уравнений, то есть возможности записать их в любой четырехмерной системе координат (что физически означает возможность произвольно выбрать локальную систему отсчета в любой точке пространства-времени). Это тоже разновидность симметрии, причем именно той, которую Эмми Нётер отнесла ко второму типу.

Как следствие, теорема Нётер состоит из двух частей. Сначала она рассмотрела инвариантность действия относительно симметрий, которым отвечают групповые преобразования первого типа. Оказалось, что подобная инвариантность позволяет записать математические соотношения, которые можно интерпретировать как законы сохранения физических величин, удовлетворяющих этим симметриям. А если проще, то эти законы есть прямые следствия тех или иных симметрий.

Вот несколько примеров. Возьмем изолированную (то есть свободную от внешних воздействий) систему частиц, которые подчиняются ньютоновской механике и ньютоновской теории тяготения (в роли частиц могут выступать планеты, обращающиеся вокруг условно неподвижной звезды). Для такой системы действие инвариантно относительно сдвигов времени. Из теоремы Нётер следует, что полная (кинетическая и потенциальная) энергия частиц не зависит от времени, то есть сохраняется. Аналогично, инвариантность относительно произвольных сдвигов в пространстве означает сохранение полного импульса, а инвариантность относительно вращений — сохранение момента количества движения.

Конечно, эти законы были известны и раньше, но природа их оставалась загадочной, если угодно, таинственной. Теорема Нётер раз и навсегда сняла покров с этой тайны, связав законы сохранения с симметриями пространства и времени.

Аналогична и ситуация для систем, которые описываются релятивистской механикой. Здесь нет разделенных времени и пространства, на смену им пришел единый четырехмерный пространственно-временной континуум, известный какпространство Минковского. Максимальная симметрия такого пространства-времени дается десятипараметрической группой Ли, известной как группа Пуанкаре. У нее есть четырехпараметрическая подгруппа, которой отвечают сдвиги в пространстве Минковского. Инвариантность действия относительно этих сдвигов приводит к сохранению четырехмерного вектора, одна из компонент которого соответствует энергии, а три — импульсу. Отсюда следует, что в каждой инерциальной системе отсчета энергия и импульс сохраняются (хотя их численные величины в различных системах не одинаковы).

Все эти выводы были очевидны сразу после публикации теоремы Нётер. Вот еще один пример, который был осознан, когда была построена квантовая электродинамика. До сих пор речь шла о внешних симметриях, связанных не с самой физической системой, а с ее, если так можно выразиться, отношениями с временем и пространством. Однако теорема Нётер позволяет учесть и внутренние симметрии, иначе говоря, симметрии физических полей, «вписанных» в лагранжиан (для любителей точности — симметрии математических конструкций, представляющих эти поля). Эта возможность тоже ведет к открытию различных законов сохранения.

Вторая теорема Нётер не столь прозрачна. Она описывает ситуации, когда преобразования симметрии, оставляющие действие инвариантным, зависят не от численных параметров, а от каких-то произвольных функций. Оказалось, что в общем случае такая инвариантность не дает возможности формулировать законы сохранения физически измеримых величин. В частности, из второй теоремы Нётер следует, что в общей теории относительности не существует универсальных законов сохранения энергии, импульса и момента импульса, которые имели бы однозначный смысл в физически реальных (то есть не бесконечно малых) областях пространства-времени. Правда, есть частные случаи, когда в рамках ОТО можно корректно поставить вопрос о сохранении энергии. Однако в целом решение этой задачи зависит от того, что именно считать энергией поля тяготения и в каком смысле говорить о ее сохранении. Более того, не сохраняется и полная энергия частиц, которые движутся в пространстве с динамическим полем тяготения (другими словами, в пространстве с изменяющейся метрикой). Так, в нашей расширяющейся Вселенной фотоны реликтового излучения непрерывно теряют энергию — это всем известный феномен космологического красного смещения.

http://elementy.ru/novosti_nauki/433257/Velikoy_teoreme_Emmi_Nyoter_100_let

Exactly one hundred years ago, at the seminar of the göttingen mathematical society, a theorem was presented, which eventually became an important tool in mathematical and theoretical physics. It connects each continuous symmetry of the physical system with a certain law of conservation (for example, if in an isolated system of particles processes are invariant with respect to the time shift, then in this system the law of conservation of energy is fulfilled). Proved this theorem Emmy Noether-and this result, along with the subsequent major works on abstract algebra, deservedly allows many to consider Noether the greatest woman in the history of mathematics.

In the most General form, the essence of Noether's theorem can be expressed in just two words. By studying nature at a fundamental level, scientists seek to find those characteristics of physical systems that remain unchanged during the processes in which these systems are involved. For example, our planet moves in its orbit at variable speed, but the imaginary segment connecting it to the Sun, for equal periods of time covers equal areas (the second Kepler's law). The total electric charge of an isolated macroscopic system does not change, no matter what internal transformations it undergoes; in the same way, the charges of elementary particles differ in absolute constancy. It follows from Noether's theorem that the very existence of such conserved properties is directly related to the symmetries of some fundamental physical quantity that determines the dynamics of the system. In other words, the conservation laws are a direct consequence of the presence of certain symmetries. This conclusion has become the most universal tool for identifying such laws in many areas of physics from Newtonian mechanics to the modern standard model of elementary particles. In addition, it can be called one of the most beautiful theoretical insights in the history of science.

The value just discussed is called action. Its specific appearance depends on the system whose behavior it describes. In form, it is a one-dimensional or multidimensional integral of an equally fundamental functional — the Lagrangian. In real physical processes, the action takes extreme value-most often, reaches a minimum. This statement, which is not exactly called the principle of least action, allows using the methods of variational calculation to write the equations describing the dynamics of the system.

Her article involves a very high mathematics, which can not be described in words. All you can do is outline the General idea. Like Hilbert, she worked with the principle of least action. She was interested in the consequences of mathematical operations that transform the mathematical objects involved in the calculation of the action, but leave unchanged its numerical value — or, more generally, change it not too much (of course, for this "not too" there is an exact mathematical definition). This means that such operations leave the action invariant. The invariance with respect to a certain transformation, or even an entire class of transformations, is called symmetry. Emmy Noether have wondered the consequences of the actions of certain symmetries.

It solved this problem in a very General form, but with one significant limitation. Symmetry transformations can be continuous or discrete. Examples of the former are shifts along coordinate axes or rotations at arbitrary angles. Discrete transformations, on the other hand, allow only a finite or, at most, a countable number of changes. For example, the circle remains unchanged at any turns around its geometric center, and the square — only at turns that are multiple of 90 degrees. In the first case we deal with continuous symmetry, in the second — with discrete symmetry. Both symmetries are described using group theory, but different branches are applied. Discrete transformations of interest to physics use the theory of groups with a finite number of elements. To describe continuous symmetries, infinite groups of a certain type are used, which are called Lie groups in honor of the great Norwegian mathematician Sophus Lee. Emmy Noether investigated the relationship between conservation laws and continuous symmetries, so in her work she used the theory of lie groups. It is worth noting that discrete symmetries can also lead to certain conservation laws, but in this case the Noether theorem is immutable.

By the beginning of the second decade of the last century, the theory of Lie groups was well developed not only by Lee himself, but also by other mathematicians, especially the German Wilhelm Killing and the French Eli Cartan. Then physics were practically not familiar with it, but Amy Noether, had the time and desire to study it in Ergangen. Now she used it — and with great success.

Emmy Noether had considered the symmetries employing lie group are of two types. In one case, each transformation (that is, each element of the Lie group) depends on a finite (or even countable) number of numerical parameters. The elements of the second type of Lie groups, on the contrary, depend on one or another number of arbitrary functions. For example, planar rotations are defined by one parameter (rotation angle) and spatial rotations by three (each can be represented as a sequence of rotations around three coordinate axes). On the contrary, Einstein GRT is based on the principle of complete covariance of equations, that is, the ability to write them in any four-dimensional coordinate system (which physically means the ability to arbitrarily choose a local reference system at any point in space-time). This is also a kind of symmetry, and it is the one that Emmy Noether attributed to the second type.

As a consequence, Noether's theorem consists of two parts. First, she considered the invariance of the action with respect to symmetries, which correspond to the group transformations of the first type. It turned out that such an invariance allows us to write mathematical relations that can be interpreted as the laws of conservation of physical quantities that satisfy these symmetries. And if it is simpler, these laws are direct consequences of these or those symmetries.

Here are some examples. Take an isolated (i.e., free from external influences) system of particles, which obey Newtonian mechanics and Newtonian theory of gravitation (the role of particles can be planets, circulating around a conditionally fixed star). For such a system, the action is invariant under time shifts. It follows from Noether's theorem that the total (kinetic and potential) energy of particles does not depend on time, that is, it is preserved. Similarly, the invariance with respect to arbitrary shifts in space means the preservation of the total momentum, and the invariance with respect to rotations — the preservation of the moment of the amount of motion.

Of course, these laws were known before, but their nature remained mysterious, if you like, mysterious. Noether's theorem once and for all removed the veil from this mystery, linking the laws of conservation with the symmetries of space and time.

The situation is similar for systems described by relativistic mechanics. There is no divided time and space, they were replaced by a single four-dimensional space-time continuum, known as Minkowski's space. The maximum symmetry of such a space-time is given by a ten-parameter Lie group known as the Poincare group. She has chetyrehtsiklicheskoy subgroup, which respond to changes in the Minkowski space. The invariance of the action with respect to these shifts leads to the preservation of a four — dimensional vector, one of the components of which corresponds to energy, and three to the momentum. It follows that in each inertial reference system energy and momentum are stored (although their numerical values in different systems are not the same).

All these conclusions were obvious immediately after the publication of Noether's theorem. Here is another example that was realized when quantum electrodynamics was constructed. Until now, it was about external symmetries associated not with the physical system itself, but with its, so to speak, relations with time and space. However, Noether's theorem allows to take into account internal symmetries, in other words, symmetries of physical fields "inscribed" in the Lagrangian (for lovers of accuracy — symmetry of mathematical constructions representing these fields). This possibility also leads to the discovery of various conservation laws.

The second Noether theorem is not so transparent. It describes situations where the symmetry transformations that leave the action invariant depend not on numerical parameters, but on some arbitrary functions. It was found that in General this invariance does not allow to formulate the laws of conservation of physically measurable quantities. In particular, it follows from the second Noether theorem that in the General relativity there are no universal laws of conservation of energy, momentum and momentum, which would have an unambiguous meaning in physically real (that is, not infinitely small) areas of space-time. However, there are special cases when, in the framework of General relativity can correctly raise the question of the conservation of energy. However, in General, the solution of this problem depends on what is considered to be the energy of the gravitational field and in what sense to talk about its preservation. Moreover, the total energy of particles that move in space with a dynamic gravitational field (in other words, in space with a changing metric) is not saved. So, in our expanding Universe, relict radiation photons continuously lose energy-this is a well-known phenomenon of cosmological red shift.

http://elementy.ru/novosti_nauki/433257/Velikoy_teoreme_Emmi_Nyoter_100_let

Category: История науки- Нistory of science | Added by: zvonimirveres
Log In
Search
Calendar
«  July 2018  »
SuMoTuWeThFrSa
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031
Организации / Оrganizations
Полезные ссылки / Useful links